Basit Doğrusal Regresyon

StatLabseu

Basit Doğrusal Regresyon (Simple Linear Regression)

Bir Bağımsız Değişken (X) ile bir Bağımlı Değişken (Y) arasındaki doğrusal ilişkiyi modeller ($Y = \beta_0 + \beta_1X + \varepsilon$). Gelecekteki Y değerlerini tahmin etmek ve değişkenler arasındaki etkinin büyüklüğünü ölçmek için kullanılır.

Kritik Uyarı: Modelin anlamlı çıkması (p < 0.05), X'in kesinlikle Y'ye neden olduğunu (causality) göstermez. Sadece doğrusal bir tahmin gücü olduğunu kanıtlar.

Veri Matrisi

Excel (.xlsx) veya CSV Yükle

Hücrelere tıklayıp değer girebilir, Excel'den doğrudan kopyalayıp buraya yapıştırabilirsiniz (Ctrl+V). Sütun başlıklarını sürükleyerek yerlerini değiştirebilirsiniz.

Veri Kalite Özeti

Toplam Satır: 0

Geçerli Gözlem (N): 0

Eksik Verili Satır: 0

Analiz Odak Çifti

Bağımsız Değişken (X)

Bağımlı Değişken (Y)

Anlamlılık Düzeyi ($\alpha$)

Güven Düzeyi (CI)

Analiz Bekleniyor

Sol panelden bağımlı ve bağımsız değişkenlerinizi girin.

Tahmin Edilen Regresyon Denklemi

$\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X$

Açıklanan Varyans ($R^2$)

-

Düzeltilmiş $R^2$

-

Model P-Değeri (F)

-

Tahmin Hatası ($S_e$)

-

Gözlem ($n$): -

Korelasyon ($R$): -

F İstatistiği: -

Regresyon Katsayıları ve Anlamlılık Testi

Değişken / Parametre	Katsayı ($b$)	Standart Hata	$t$ İstatistiği	$p$-değeri	Güven Aralığı
Sabit ($b_0$ / Intercept)	-	-	-	-	-
X Değişkeni ($b_1$)	-	-	-	-	-

Eğim katsayısı ($b_1$), bağımsız değişkendeki 1 birimlik artışa karşılık bağımlı değişkendeki ortalama değişimi gösterir. Sabit ($b_0$) ise X=0 olduğunda beklenen Y değeridir.

Regresyon ANOVA Tablosu (Genel Anlamlılık)

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (SS)	Serbestlik Der. ($df$)	Ortalama Kare (MS)	$F$ Değeri	$p$-value
Model (Regresyon)	-	-	-	-	-
Hata (Residuals)	-	-	-	-	-
Genel Toplam	-	-

Saçılım Grafiği ve Regresyon Eğilimi

Mavi noktalar gözlemlenen gerçek verileri, kırmızı çizgi ise en küçük kareler yöntemiyle (OLS) oluşturulan tahmin modelini temsil eder.

Artıklar (Residuals) ve Sabit Varyans Kontrolü

X ekseni tahmin edilen Y değerlerini, Y ekseni ise Hata (Gerçek - Tahmin) miktarını gösterir. Noktaların 0 çizgisi etrafında rastgele dağılması (huni/desen olmaması) beklenir.

Model Varsayım Kontrolleri (Tanı Testleri)

Varsayım (Test)	Test İstatistiği	$p$-value	Durum / Karar
Artıkların Normalliği (Shapiro-Wilk)	-	-	-
Sabit Varyans - Homoscedasticity (Breusch-Pagan)	-	-	-

Artıklar (Residuals) ve Etkili Gözlemler Özeti

Modeli aşırı derecede saptıran aykırı/etkili gözlemleri tespit etmek için Studentized Artıklar ve Cook's Distance kullanılır.

#	Gerçek Y ($y$)	Tahmin ($\hat{y}$)	Artık ($e$)	Studentized Artık	Cook's Distance

-

1. En Küçük Kareler (OLS) Katsayı Tahmini

Regresyon doğrusu, gözlemlenen noktalar ile çizgi arasındaki dikey sapmaların (hataların) kareler toplamını en aza indirecek şekilde çizilir.

$$ b_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} $$
$$ b_0 = \bar{Y} - b_1\bar{X} $$

2. Kareler Toplamı (Sum of Squares)

$$ SST = \sum (Y_i - \bar{Y})^2 \quad (\text{Toplam Varyasyon}) $$
$$ SSR = \sum (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2 \quad (\text{Modelin Açıkladığı}) $$
$$ SSE = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2 \quad (\text{Açıklanamayan Hata}) $$
$$ SST = SSR + SSE \quad \rightarrow \quad R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} $$

3. Standart Hata ve t-Testi

$$ MSE = \frac{SSE}{n - 2} \quad , \quad S_e = \sqrt{MSE} $$
$$ SE(b_1) = \frac{S_e}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2}} \quad \rightarrow \quad t_{b_1} = \frac{b_1}{SE(b_1)} $$
$$ SE(b_0) = S_e \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{\bar{X}^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2}} \quad \rightarrow \quad t_{b_0} = \frac{b_0}{SE(b_0)} $$

Modelin Sınırları ve Önemli Uyarılar

Nedensellik: $R^2$ ne kadar yüksek olursa olsun, "X değişkeni Y'yi değiştirir" demek mantıksal bir safsatadır. İkisi de üçüncü bir değişkenden etkileniyor olabilir.
Ekstrapolasyon: Regresyon modeli yalnızca eldeki verilerin Minimum X ve Maksimum X aralığında güvenilirdir. Bu sınırların dışında yapılacak bir yeni X tahmini (Ekstrapolasyon) mantıksız sonuçlar (örn. negatif boy) verebilir.
Aykırı Değer Etkisi: Regresyon "Kareler" toplamını kullandığı için, tek bir hatalı veri bile tüm doğrunun eğimini kendine çekebilir. Bu yüzden Etkili Gözlemler (Cook's D) tablosunu kontrol etmek şarttır.