Çoklu Doğrusal Regresyon

StatLabseu

Çoklu Doğrusal Regresyon (Multiple Linear Regression)

Bir Bağımlı Değişkeni (Y), birden fazla Bağımsız Değişken ($X_1, X_2...$) kullanarak tahmin etmeyi ve her bir bağımsız değişkenin modele olan özgün katkısını belirlemeyi sağlar ($Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + \varepsilon$).

Kritik Uyarı: Bir katsayının yorumu "diğer tüm değişkenler sabit tutulduğunda" geçerlidir. Çok sayıda değişken eklemek modeli şişirebilir (Multicollinearity). Yüksek VIF değerlerine dikkat edin.

Veri Matrisi

Excel (.xlsx) veya CSV Yükle

Hücrelere tıklayıp değer girebilir, Excel'den doğrudan kopyalayıp buraya yapıştırabilirsiniz (Ctrl+V). Sütun başlıklarını sürükleyerek yerlerini değiştirebilirsiniz.

Veri Kalite Özeti

Toplam Satır: 0

Geçerli Gözlem (N): 0

Eksik Verili Satır (Çıkarılacak): 0

1. Bağımlı Değişken (Tahmin Edilecek Y)

2. Bağımsız Değişkenler (Açıklayıcı X'ler)

Maksimum verimlilik için modeldeki $X$ sayısı, gözlem sayısından ($n$) çok daha az olmalıdır ($n > X_{sayisi} + 2$).

Anlamlılık Düzeyi ($\alpha$)

Güven Düzeyi (CI)

Analiz Bekleniyor

Sol panelden bağımlı ve bağımsız değişkenlerinizi seçip testi başlatın.

Tahmin Edilen Regresyon Denklemi

$\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots$

Açıklanan Varyans ($R^2$)

-

Düzeltilmiş $R^2$

-

Model P-Değeri (F)

-

Tahmin Hatası ($S_e$)

-

Gözlem ($n$): -

Bağımsız Değişken ($k$): -

F İstatistiği: -

Çoklu Korelasyon ($R$): -

Katsayılar (Coefficients) ve Çoklu Doğrusal Bağlantı (VIF)

Değişken	Katsayı ($b$)	Std. $\beta$	Std. Hata	$t$ İstatistiği	$p$-değeri	Güven Aralığı	VIF

Regresyon ANOVA Tablosu (Genel Anlamlılık)

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (SS)	Serbestlik Der. ($df$)	Ortalama Kare (MS)	$F$ Değeri	$p$-value
Model (Regresyon)	-	-	-	-	-
Hata (Residuals)	-	-	-	-	-
Genel Toplam	-	-

Gerçek Değerler vs Tahmin Edilen Değerler ($\hat{Y}$)

Modelin genel başarısını gösterir. Noktalar 45 derecelik (kırmızı kesik) referans çizgisine ne kadar yakınsa, çoklu modelin Y'yi tahmini o kadar başarılı demektir ($R^2$ yüksek).

Artıklar (Residuals) ve Sabit Varyans Kontrolü

X ekseni tahmin edilen Y değerlerini, Y ekseni ise Hata (Gerçek - Tahmin) miktarını gösterir. Noktaların 0 çizgisi etrafında rastgele dağılması (huni/desen olmaması) beklenir.

Model Varsayım Kontrolleri (Tanı Testleri)

Varsayım (Test)	Test İstatistiği	$p$-value	Durum / Karar
Artıkların Normalliği (Shapiro-Wilk)	-	-	-
Sabit Varyans - Homoscedasticity (Breusch-Pagan)	-	-	-

Artıklar (Residuals) ve Etkili Gözlemler Özeti

Modeli aşırı derecede saptıran aykırı/etkili gözlemleri tespit etmek için Studentized Artıklar ve Cook's Distance kullanılır.

Gözlem #	Gerçek Y ($y$)	Tahmin ($\hat{y}$)	Artık ($e$)	Studentized Artık	Cook's Distance

-

1. Matris Notasyonunda Katsayıların Bulunması (OLS)

Çoklu regresyonda eğim katsayıları matris cebiriyle çözülür. $X$ matrisi, bağımsız değişkenleri (ve en başa eklenen 1'lerden oluşan sabit sütununu) içerir.

$$ \boldsymbol{\hat{\beta}} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{Y} $$
$$ \mathbf{\hat{Y}} = \mathbf{X}\boldsymbol{\hat{\beta}} \quad , \quad \mathbf{e} = \mathbf{Y} - \mathbf{\hat{Y}} $$

2. Açıklanan Varyans ve Düzeltilmiş $R^2$

Çok sayıda değişken eklemek $R^2$ değerini yapay olarak şişirir. Bu nedenle değişken sayısına ($k$) ceza uygulayan Düzeltilmiş (Adjusted) $R^2$ kullanılır.

$$ R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} \quad , \quad SST = \sum (Y_i - \bar{Y})^2 $$
$$ R^2_{adj} = 1 - \left[ \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1} \right] $$

3. Standart Hatalar ve t-Testi

$$ MSE = \frac{SSE}{n - k - 1} \quad , \quad Cov(\boldsymbol{\hat{\beta}}) = MSE \cdot (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} $$
$$ SE(\beta_j) = \sqrt{ Cov(\boldsymbol{\hat{\beta}})_{jj} } \quad \rightarrow \quad t_j = \frac{\hat{\beta}_j}{SE(\beta_j)} $$

4. Varyans Şişkinlik Faktörü (VIF - Çoklu Bağlantı)

Bağımsız değişkenlerin birbirlerini açıklama derecesini ölçer. $R_j^2$, ilgili $X_j$ değişkeninin diğer tüm $X$'ler tarafından açıklandığı regresyonun $R^2$ değeridir.

$$ Tolerance = 1 - R_j^2 $$
$$ VIF_j = \frac{1}{Tolerance} = \frac{1}{1 - R_j^2} $$