Bağımsız İki Örneklem Z-Testi

StatLabseu

Bağımsız İki Örneklem Z-Testi

Evren varyansları ($\sigma_1^2, \sigma_2^2$) kesin olarak bilindiğinde veya örneklem büyüklükleri yeterince büyük olduğunda ($n_1, n_2 \ge 30$) iki bağımsız grubun ortalamaları arasındaki farkı test etmek için t-testi yerine kullanılan standart normal dağılım tabanlı testtir.

Bağımsız Veri Havuzu

Çift Sütunlu Dosya Yükleyin

İlk sütun 1. Gruba, ikinci sütun 2. Gruba aktarılır.

1. Grup ($X_1$)

1
2
3
4
5

2. Grup ($X_2$)

1
2
3
4
5

Maksimum 1000 veri sınırı

Evren Parametreleri (İsteğe Bağlı)

1. Grubun Evren Std. Sapması ($\sigma_1$)

2. Grubun Evren Std. Sapması ($\sigma_2$)

Boş bırakılırsa örneklem varyansları ($s_1^2, s_2^2$) kullanılır ve Büyük Örneklem Yaklaşımı uygulanır.

Test Yönü (Kuyruk)

Test Edilen Fark ($D_0$)

Anlamlılık Düzeyi ($\alpha$)

Analiz Bekleniyor

İki gruba ait verilerinizi girip Z-Testini başlatın.

P-Değeri Göstergesi

0.00.51.0

0.0000

$\alpha$: 0.05

P-Değeri ($p$)

-

Z-İstatistiği ($Z$)

-

Etki Büyüklüğü ($d$)

-

Ortalama Farkı ($\bar{x}_1 - \bar{x}_2$): -

Kritik Z Değeri: -

Standart Hata ($SE$): -

Grupların Tanımlayıcı İstatistikleri ve Normallik Kontrolü

İstatistik / Metrik	1. Grup ($X_1$)	2. Grup ($X_2$)
Örneklem Büyüklüğü ($n$)	-	-
Örneklem Ortalaması ($\bar{x}$)	-	-
Örneklem Standart Sapması ($S$)	-	-
Kullanılan Evren Std. Sapması ($\sigma$)	-	-
Çarpıklık Katsayısı (Skewness)	-	-
Normallik (Lilliefors K-S)	-	-

Z-Testi'nde örneklem boyutu büyükse ($n > 30$) verinin normal dağılmasına (Merkezi Limit Teoremi gereği) ihtiyaç duyulmaz.

Z-Testi ve Etki Gücü Sonuçları

Test Edilen Dağılım	Z-İstatistiği	P-Değeri ($p$)	%95 Güven Aralığı (Fark)	Cohen's $d$
Standart Normal $N(0,1)$	-	-	-	-

Grup Ortalamaları ve %95 Güven Aralıkları

Hata çubukları (error bars) ortalamanın evrendeki %95 güven sınırlarını gösterir. Çubukların kesişmemesi anlamlı farkın güçlü bir görsel kanıtıdır.

Kutu Grafiği (Box Plot) ve Aykırı Değerler

Grupların medyan (orta çizgi), çeyreklikler (Q1-Q3 aralığı), minimum-maksimum sınırları ve aykırı değerlerini (kırmızı noktalar) detaylı gösterir.

Yoğunluk Eğrisi (Density Curve)

İki grubun normal dağılım eğrilerinin üst üste bindirilmiş halidir. Eğrilerin ayrışma miktarı, ortalamalar arasındaki farkın netliğini yansıtır.

-

Bağımsız İki Örneklem Z-Testi Hakkında

Bağımsız İki Örneklem Z-Testi, birbiriyle ilişkisi olmayan iki farklı grubun belirli bir değişkene ait aritmetik ortalamaları arasında evrende istatistiksel olarak anlamlı bir fark olup olmadığını test eder. Bağımsız t-Testine çok benzerdir, ancak Z-Testinin uygulanabilmesi için katı bir fark vardır: Evren standart sapmaları ($\sigma_1, \sigma_2$) kesin olarak bilinmelidir.

Ancak uygulamada evren standart sapmalarını bilmek neredeyse imkansızdır. Bu nedenle istatistikçiler Merkezi Limit Teoremi'ni (CLT) kullanarak bir yaklaşım geliştirmişlerdir: Eğer her iki grubun da örneklem büyüklüğü yeterince büyükse ($n_1 \ge 30$ ve $n_2 \ge 30$), örneklemden elde edilen standart sapmalar ($S_1, S_2$) güvenle evren parametresi ($\sigma$) yerine kullanılabilir ve Z-Testi uygulanabilir. Buna Büyük Örneklem Yaklaşımı denir.

Ne Zaman Kullanılır?

Örneklem sayısı devasa boyutlarda olduğunda (Örn: Big Data, binlerce anket katılımcısı) t-testi ile Z-testi aynı sonucu verir; bu durumda hesaplaması daha kolay olan Z-testi tercih edilebilir.
Evren standart sapması uzun yıllar boyunca yapılan önceki ölçümlerden kesin olarak biliniyorsa.

Varsayımlar

Bağımsızlık: İki grup birbirinden tamamen bağımsız olmalıdır.
Evren Standart Sapması veya Büyük Örneklem: Ya evren varyansları bilinmelidir ya da her iki örneklem grubu da en az 30 gözlemden oluşmalıdır. Aksi halde sonuçlar hatalı çıkar ve t-Testi kullanılmalıdır.
Normallik: Örneklem sayıları 30'dan küçükse ve yine de Z-testi yapılıyorsa verilerin normal dağılması zorunludur. Eğer örneklemler büyükse ($n>30$), veriler normal dağılmasa bile test güvenilirdir.

Karar Kuralı:
$p < \alpha \rightarrow H_0 \text{ reddedilir. (İki grup ortalaması arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark vardır)}$
$p \ge \alpha \rightarrow H_0 \text{ reddedilemez. (Ortalamalar arasındaki fark şans eseri oluşmuştur)}$

1. Z-İstatistiği (Evren Varyansı Biliniyorsa) Gerçek evren parametreleri kullanılarak hesaplanır: $$Z = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - D_0}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}$$ Burada $D_0$ test edilen varsayılan farktır (genellikle 0).

2. Z-İstatistiği (Büyük Örneklem Yaklaşımı) $\sigma$ bilinmediğinde $n \ge 30$ şartıyla örneklem varyansı ($S^2$) kullanılır: $$Z \approx \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - D_0}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}$$

3. %95 Güven Aralığı (Confidence Interval) İki ortalama arasındaki gerçek farkın alt ve üst sınırları: $$\text{GA} = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm Z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$

4. Etki Büyüklüğü (Cohen's $d$) Farkın standart sapma birimi cinsinden gücünü ölçer: $$d = \frac{|\bar{x}_1 - \bar{x}_2|}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{2}}}$$ $0.2$: Küçük | $0.5$: Orta | $0.8$: Büyük Etki