Ki-Kare ($\chi^2$) dağılımı her zaman pozitiftir ($\chi^2 \ge 0$) ve serbestlik derecesi ($df$) arttıkça sağa çarpık (asimetrik) yapısından kurtularak normal dağılıma yaklaşır. Genellikle Uygunluk, Bağımsızlık ve Varyans testlerinin Sağ Kuyruk alanlarında kullanılır.
$df=1$ (Sağa Çarpık)
$df=100$ (Normale Yakın)
Sağ Kuyruk (p-Değeri)
P(X ≥ $\chi^2$)
0.0500
%5.00
Sol Kuyruk
P(X ≤ $\chi^2$)
0.9500
%95.00
Beklenen Değer
Ortalama: E(X) = df
4
Ki-Kare Dağılımı ve Kritik Bölge
$\chi^2 \ge 0$
Karar ($p \le \alpha$):
Sınırda Değer
Kritik $\chi^2$ Tablosu
Test $\alpha$:
Kritik $\chi^2$ Sınırı Bul
Anlamlılık düzeyine ($\alpha$) ve serbestlik derecesine ($df$) göre sağ kuyruk sınırını hesaplar.
Güven Düzeyi
%95.0
Kritik Sınır
9.4877
Olasılıktan $\chi^2$ Bul
Bilinen bir $p$-değeri için gereken $\chi^2$ skorunu hesaplar.
Hesaplanan $\chi^2$ Değeri
9.4877
İki $\chi^2$ Arasındaki Alan
$\chi^2_1$ ve $\chi^2_2$ arasında kalan bölgenin olasılığını hesaplar: $P(\chi^2_1 \le X \le \chi^2_2)$
P(2.50 ≤ X ≤ 9.49)
0.3015
Tek bir örneğin varyansının ($s^2$), iddia edilen bir kitle varyansına ($\sigma_0^2$) eşit olup olmadığını test eder.
Hesaplanan $\chi^2$: 36.00
Ki-Kare Yoğunluk Fonksiyonu (PDF)
$$ f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2-1}e^{-x/2} $$
Burada $k = df$ (Serbestlik Derecesi) ve $x \ge 0$ olmalıdır.
Temel Ki-Kare Test Formülleri
Uygunluk / Bağımsızlık Testleri:
$$ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} $$
Tek Varyans Testi:
$$ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} $$