Tek Örneklem Z-Testi

StatLabseu

Tek Örneklem Z-Testi

Bir örneklem ortalamasının, önceden bilinen bir popülasyon ortalamasından anlamlı farklılık gösterip göstermediğini test eder. Popülasyon standart sapmasının ($\sigma$) bilinmesi gerekir.

Veri Havuzu & Parametreler

Ham Veri

Özet İstatistik

Dosya Yükleyin

Tek sütun veri alınır
(.csv, .txt, .xlsx)

Gözlem Verileri

Maksimum 1000 gözlem sınırı

Aykırı Değer (Outlier) Filtresi

Test Edilecek Değer ($\mu_0$)

Popülasyon Sapması ($\sigma$)

Test Yönü (Kuyruk)

Anlamlılık Düzeyi (α)

Otomatik Güven Düzeyi

Analiz Bekleniyor

Parametreleri belirleyip analizi başlatın.

P-Değeri Göstergesi

0.00.51.0

0.0000

Kritik Eşik (α): 0.05

P-Değeri

-

Z İstatistiği (z)

-

Z-Kritik Değer

-

Örneklem Çapı ($n$): -

Standart Hata ($SE$): -

Ortalama İçin %95 Güven Aralığı (CI) Aralık, test edilen $\mu_0$ değerini içeriyorsa fark anlamlı değildir.

[ - , - ]

Tanımlayıcı İstatistikler & Etki Büyüklüğü

Gözlem ($n$)	Örneklem Ort. ($\bar{x}$)	Popülasyon SS. ($\sigma$)	Hipotez Değeri ($\mu_0$)	Ortalama Farkı	Normallik Shapiro ($p$)
-	-	-	-	-	-

Cohen's $d$ (Etki Büyüklüğü): -

Standart Normal Dağılım (Z) ve Kritik Bölgeler

Veri Dağılımı vs Hipotez

Test Gücü Dağılımı (Power vs Tip II)

-

Tek Örneklem Z-Testi Bilgilendirme

$$H_0 : \mu = \mu_0 \text{ (Örneklem ortalaması, teorik popülasyon değerine eşittir)}$$

$$H_1 : \mu \neq \mu_0 \text{ (veya } >, < \text{ hipotezine göre)}$$

$$ z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} $$

Bu formülde $\bar{x}$ örneklem ortalamasını, $\mu_0$ test edilen değeri, $\sigma$ bilinen popülasyon standart sapmasını ve $n$ gözlem sayısını ifade eder. Bulunan Z istatistiği, Standart Normal Dağılım $N(0, 1)$ üzerinde değerlendirilerek p-değeri hesaplanır.

Test Hakkında

Tek Örneklem Z-Testi, bir örneklem ortalamasının önceden belirlenmiş bir hipotez ortalamasından ($\mu_0$) anlamlı düzeyde farklı olup olmadığını değerlendirmek için kullanılan parametrik bir hipotez testidir. Bu testte popülasyon standart sapmasının ($\sigma$) bilindiği varsayılır.

Ne Zaman Kullanılır?

Tek Örneklem Z-Testi aşağıdaki durumlarda tercih edilir:

Tek bir örneklem analiz ediliyorsa,
Popülasyon standart sapması ($\sigma$) biliniyorsa,
Veri sürekli (sayısal) ise,
Gözlemler birbirinden bağımsız ise,
Popülasyon normal dağılıyorsa veya örneklem büyüklüğü yeterince büyükse (genellikle $n \ge 30$).

Hipotezler

Çift Yönlü (Two-tailed)

$H_0: \mu = \mu_0$
$H_1: \mu \neq \mu_0$

Sol Yönlü (Left-tailed)

$H_0: \mu \ge \mu_0$
$H_1: \mu < \mu_0$

Sağ Yönlü (Right-tailed)

$H_0: \mu \le \mu_0$
$H_1: \mu > \mu_0$

Varsayımlar

Gözlemler bağımsızdır.
Veri sürekli ölçektedir.
Popülasyon standart sapması ($\sigma$) bilinmektedir.
Popülasyon normal dağılıma sahiptir veya örneklem büyüklüğü yeterlidir.
Aykırı değerler sonuçları etkileyebilir.

Giriş Parametreleri

Test Edilecek Değer ($\mu_0$): Karşılaştırılacak hipotez ortalamasıdır.
Popülasyon Standart Sapması ($\sigma$): Popülasyona ait bilinen standart sapmadır. Bu değer bilinmiyorsa Tek Örneklem Z-Testi yerine Tek Örneklem t-Testi tercih edilmelidir.
Test Yönü:
- Çift yönlü: Ortalama hipotez değerinden farklı mı?
- Sol yönlü: Ortalama hipotez değerinden daha küçük mü?
- Sağ yönlü: Ortalama hipotez değerinden daha büyük mü?
Anlamlılık Düzeyi ($\alpha$): İstatistiksel karar sınırını belirler. Yaygın kullanılan değerler: 0.10, 0.05, 0.01.

Sonuçların Yorumlanması

Sonuçlarda aşağıdaki istatistikler raporlanır:

Gözlem Sayısı ($n$)
Örneklem Ortalaması ($\bar{x}$)
Popülasyon Standart Sapması ($\sigma$)
Z Değeri ve $p$-Değeri
Ortalama Farkı, Güven Aralığı ve Etki Büyüklüğü (Cohen's $d$)

Karar Kuralı:
$p < \alpha \rightarrow H_0 \text{ reddedilir.}$
$p \ge \alpha \rightarrow H_0 \text{ reddedilemez.}$

Örnek

Bir üretici, ürünlerin ortalama ağırlığının 500 gram olduğunu iddia etmektedir. Popülasyon standart sapması 12 gram olarak bilinmektedir. Rastgele seçilen ürünlerden elde edilen örneklem ortalamasının 500 gramdan anlamlı biçimde farklı olup olmadığı Tek Örneklem Z-Testi ile değerlendirilebilir.

Not: Popülasyon standart sapması ($\sigma$) bilinmiyorsa Tek Örneklem Z-Testi uygun değildir. Bu durumda Tek Örneklem t-Testi kullanılması önerilir.

R Programlama ile Analiz Kodu

Terminal

# Veri seti ve popülasyon standart sapmasını tanımlayın
veri <- c(42.5, 45.1, 39.8, 41.2, 44.5, 38.9, 43.1)
pop_sigma <- 5.2

# BSDA kütüphanesini kullanıyoruz
library(BSDA)

# Çift Yönlü Tek Örneklem Z-Testi (mu = 40 testi)
z.test(veri, mu = 40, sigma.x = pop_sigma, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

# Tek Yönlü Testler
z.test(veri, mu = 40, sigma.x = pop_sigma, alternative = "greater") # Ort. > 40
z.test(veri, mu = 40, sigma.x = pop_sigma, alternative = "less")    # Ort. < 40